【冲刺】2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 试题题型： 选择题+计算题 参考书目： 《高等代数》(第五版)，北京大学数学系前代数小组编，高等教育出版社，2019 年 适用院系： （007）数学与信息科学学院

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一）.....................4 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（二）.....................9 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（三） ...................16 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（四） ...................23 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） ...................29

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年北方民族大学 070100 数学《822 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） 一、选择题 1． 设 阶矩阵 非奇异 A. B. C. D. 【答案】C 是矩阵 的伴随矩阵，则__

2． 若 ， ， ， ， 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式. 列式 等于__ A. B. C. D. 【答案】C

，

，则 4 阶行

3． 设 A 是 阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得到矩阵 B，A，B分别为 A，B 的伴随矩阵， 则__. A.交换 的第 1 列与第 2 列得到 B； B.交换 的第 1 行与第 2 行得到 B；（豆丁华研ㅓ电子书）

C.交换 A的第 1 列与第 2 列得到 ； D.交换 A，的第 1 行与第 2 行得到−B. 【答案】C. 【解析】由题设知 ，其中 初等矩阵.因此， .又因为

是将单位阵的第一行（列）与第二行（列）交换后得到的 ， ， ，所以

由于

，故

，即 C 是正确的.

4． 设向量组 , , A. B. C. D. 【答案】C 二、计算题

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是__

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考研专业课模拟试题 5． 已知五阶行列式

试计算 【答案】

，其中

，

是

中第 4 行各元素的代数余子式.

① 又（豆丁华研з电д子书）

. 所以 又由 有 . 联立式①和式③，有 6． 设 , 是 n 阶方阵,若 【答案】令 ,得 . 可逆,试证明: 可逆,并求其逆矩阵. ,两边取行列式并注意 .

②

③

与 ,由于

,

即 可逆.再令

,由

,得

,于是 ① ② ③ ④

由①+②和①一②可解得 ,

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考研专业课模拟试题 解得 , 类似由式③,④可解得 , ,故

7． 设 , 是线性空间 V 的两个线性变换,如有 V 的可逆线性变换 S,使 ,则称 与 相似. 证明： 与 相似的充要条件是：存在可逆线性变换 S,使 中任一向量 ,由 ,可得 。 【答案】取定线性空间 V 的一组基.设 , 在该基下的矩阵仍记为 , ,显见问题等价于矩阵 与 相似的充要条件是,存在可逆阵 s,使 中任给向量 ,如 ,可得 必要性,因 与 相似,则存在可逆矩阵 S,使 任取: ,如 ,则因 故有 充 分 性 : 由 题 设 , 存 在 可 逆 阵 S, 对 , ,2,•••,n.从而有 即 所以 ,即 , 与 相似.

的 自 然 基

,

,…,

, 由

, 可 得

8． 按多元多项式的字典排列法改写以下多项式,并指出其乘积的首项:

【答案】 与 按字典排列法为

乘积

的首项等于. 的首项与 的首项的乘积,即

9． 设 U 和 V 是 n 阶的可逆矩阵，D 是 m 阶的可逆矩阵

，且 .

【答案】令

，这里

，

分别是阶矩阵.

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考研专业课模拟试题 （2）令 , ,则

但 , 不相似.否则,存在可逆矩阵 ,使 ,则有 ,矛盾. （3）由 , 均为实对称矩阵知, , 均相似于对角阵.若 , 的特征多项式相等,记特征多项式的根为 ,则存在可逆矩阵 , 使 于是 .由 为可逆矩阵知, 与 相似.

12．用行列式判断下列向量组是否线性相关： （1） , , . （2） , , （3） , , , . （4） , , , 【答案】若向量线性组相关，则以向量为列构成的行列式的值应该为零. （1） ，故向量组线性无关.

（2）

，故向量组线性无关.

（3）

，故向量组线性相关.

（4）

，故向量组线性无关.

13．当正整数 取何值时, 有重因式. 【答案】 ・由重因式判别定理知, 不互素,即 与 有公共根 ,于是 , 即 ,从而 可得 , 得 ,（豆丁华研к电子♂书） 14 ． 设 ， ,这表明 与 ,所以 都是 ,

有重因式的充分必要条件是

与

次单位根.令 .于是

,则

,由

,即 是 3 次单位根,故

，…， 是 F 上 n 维向量空间 V 的一组基，A 是 F 上的一个 .证明： .

矩阵，令

【答案】设 R(A)=r,则存在 n 阶可逆矩阵 P 及 s 阶可逆矩阵 Q 使 设

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