【冲刺】2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理 《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案 试题题型： 计算题+简答题+证明题 参考书目： 曾谨言， 《量子力学教程》(第三版)，科学出版社，2014 年(“十二五”普通高等教育本科国家级规划教 材) 周世勋， 《量子力学教程》(第二版)，高等教育出版社，2009 年(普通高等教育“十一五”国家级规划教 材) 曾谨言， 《量子力学(卷Ⅰ)》(第五版)，科学出版社，2014 年 适用院系： （002）物理科学与技术学院

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） .................4 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（二） ...............14 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（三） ...............24 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（四） ...............30 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） ...............38

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年昆明学院 070205 凝聚态物理《810 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） 一、计算题 1 ． 算符 与 满足对易关系 ，其中 与 ， 均为正实数，且 ，体系的哈密顿量为 ，试用微扰方法计算体

系的第一激发态的一级近似能量，并同精确能量比较。 【答案】 的本征值与本征态矢为

第一激发态能量

是二度简并的，相应的本征态矢为

令零级近似态矢为

， 与

满足方程

利用公式

算出微扰矩阵元

将上述

值代入方程，

解之得

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考研专业课模拟试题 一级近似能量和零级近似态矢为

为求精确能量，令

可以证明

与

一样，也是玻色子的湮没算符与产生算符。作变换

，在此变

换下,体系的哈密顿量变为

的本征值为

当

与(10)时，能量分别为

与

，精确能量同上述一级近似能量相同。

下 面 介 绍 ， 为 求 精 确 能 量 ， 上 面 所 作 的 变 换 (1) 和 (2) 是 怎 样 得 到 的 ， 如 果 只有前两项，

其中 2×2 矩阵是对角矩阵，对角元素是单粒子态

的能量

，

的本征态与本征值为

现在 有 4 项，

其中 2×2 矩阵是非对角矩阵，在上式中引入单位矩阵

，S 为幺正变换矩阵：

，

假设在 S 矩阵的变换下，非对角矩阵变成对角矩阵，相应地

变成了

：

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考研专业课模拟试题

于是

同

的本征值为 之间的关系是一样的：

， 这是因为在上述线性变换下

之间的关系

现在我们来找能使非对角矩阵变成对角矩阵的变换矩阵 S 是什么，

与

是什么。令

设想

为一哈密顿算符，它的矩阵是非对角的，表明它是在某一个力学量 表象中给出的，使 变换到自身 表象。 表象变换的 S 矩阵，可以将 在 表象的本征态矢

对

角化，就是将

并列得到，为此，我们在 表象解

的定态方程掌㈄心博阅电子书

由方程解得

这正是前面给出的变换公式(1)与(2)青岛掌ъ心博阅电子书

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考研专业课模拟试题 式(6)与(5)相乘，并作全空间积分

其中

将式(8)代入式(7)，得

取正实数

，代入式(5),得

9．

是玻色子在单粒子态 ，令

上的产生算符与湮没算符，满足对易关系

(1)证明

(2)证明

其中 们的本征值。 【答案】(1)

与

分别是 与

态上粒子占有数算符；(3)求

与

的共同本征态，以及它

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考研专业课模拟试题 因此体系的哈密顿为

由此知，其本征函数为 ，其中 其中

，而总能量为 。在 x<0 的区域，我们有 ，其束缚态解为

代表沿 y 轴的自由运动，

.在 x>0 的区域，因

其中 ，这里已考虑到无穷远边界条件 概率系数)。因为有 x=0 处的边界条件，可推出

(B 的模方并不代表透射波的

由此可以看出反射系数为 故这是一个全反射过程。 9．设 证明

为角动量算符，

。 算符 为

与 与

满足对易关系 ： 的共同本征函数。

。

，其中 c 为常数，

【答案】根据题意，要证明的是

先证明(1)，

再证明(2)。因

便有

利用式(3),

因

与

对 易 ， 式 (4) 右 面 第 一 项

。 这 是 因 为

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