【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070104 应用 数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考 答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 试题题型： 计算题 参考书目： 《高等代数》第五版，北京大学数学系前代数小组编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社 适用院系： （916）北京计算科学研究中心 （909）北京应用物理与计算数学研究所 （900）研究生院北京本部

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） ..4 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（二） ..8 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（三） 13 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（四） 17 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） 23

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年中国工程物理研究院 070104 应用数学《801 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） 一、计算题 1． 设 A 是一个 n 阶矩阵且

，

（1）证明 A 可表示为

的形式；

（2）若 A 的第 1 行和第 1 列的元素全为 1，求 A 及 【答案】 （1） ，则 的各行成比例，即

.

（2）若 A 的第一行和第一列的元素全为 1,则（豆丁华研г电子┚书）

，

2． 设 A 是 n 阶实对称可逆矩阵，证明：A 是正定矩阵 对任意正定矩阵 B. 。 【答案】 “ ”：设 A 正定，则 ，且 S 正定.由 AB 相似. 又由 B 正定，则 正定，即 的特征值全大于零，则 “ ”：设 A 实对称，则 正交，使 ， ， ，…， 是 A 的全部特征值. 令 ，则 其中 t 为正实数，可任意小，则 类似可证 3． 求 .

的交与和的基和维数，其中 , . ，其中 的一个基.所以 为它的一个极大无 .

【答案】因 ，而 关组，即为 的一组线性无关的生成元，亦即 ,而

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考研专业课模拟试题 下面求交的基：因 ， ， 和 ， 分别为 ， 的基， 不全为零， ， 不全为零 ① 按分量展开得（豆丁华研ㅛ电子书）

②

解得

是②的一个基础解系，即①的一个非零解，于是

是交的一个基.

4 ． 设 A,B 是 数 域 F 上 的 n 阶 矩 阵 ， A 在 F 上 有 n 个 互 不 相 同 的 特 征 值 . 证 明 以 下 两 条 件 等 价 ： (1) ；(2)存在可逆矩阵 P,使 与. 同时为对角形. 【答案】 因 A 在 F 上有 n 个互不相同的特征值 ， ，…， ，故 A 必可对角化.即存在可 逆矩阵 P,使 由于 AB=BA,则 若 ， .又 ， ，…， 互不相同，故

_ ,则

从而. 5． 在全体二维实向量集合 按如下规定的加法与数乘运算 , 构成的线性空间中,下列子集是否构成 的子空间？为什么？ (1) 【答案】(1)不构成.取 可见 (2)构成.因为 ,故 ；(2) ,因为 .

不构成子空间.（豆丁华研з电┐子书） ,所以 非空.设 , ‘

则有

故

构成 的子空间. 有 个互不相同的特征值 同时为对角形； ,…, .证明:

6． 设 , 为 阶方阵,. (1)存在可逆矩阵 使得

,

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考研专业课模拟试题 (2)存在次数小于等于 的多项式 【答案】(1)存在可逆矩阵 使得 于是由 从而可得 (2)设 满足 从而 即 ,则 有 , ,使得

此关于未知量 7． 设

,•••,

的方程组有唯一解.故结论成立. ，对任意 。令

看成 上的线性空间，取定

求证：（1） 是 的线性变换；（豆丁华研й电♨子书） （2）当 时， 可逆的充要条件是 。 【答案】 （1） ， ，

因此 是 的线性变换。 （2）充分性：当 ，则 那么，

可逆，令

于是 ，因此 可逆。 必要性：假定 不可逆，则

，那么存在 阶可逆矩阵 ， ，使

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考研专业课模拟试题 证法 2

(2)当

时，方程组系数行列式

，故方程组有唯一解，将

第 1 列换成 B,得行列式为

由克莱姆法则，

(3)当 A=0 时，方程组为

此时有无穷多个解，其通解为

,k 为任意常数.

7． 计算行列式 【答案】由 ，i，k 为任意正整数，则

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