【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070201 理论 物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考 答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案 试题题型： 计算题+简答题+证明题 参考书目： 《量子力学导论》 ，曾谨言著，北京大学出版社 适用院系： （909）北京应用物理与计算数学研究所 （900）研究生院北京本部 （901）流体物理研究所 （916）北京计算科学研究中心 （908）激光聚变研究中心 （911）上海激光等离子体研究所 （907）材料研究所 （915）北京高压科学研究中心

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） ..4 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（二） 12 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（三） 18 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（四） 27 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） 33

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年中国工程物理研究院 070201 理论物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） 一、计算题 1． 一体系由两个质量为 m 的一维全同粒子组成，两粒子之间的相互作用为 ，(1)若 粒子自旋为 0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；(2)若粒子自旋 s=1/2,写出它们的相对运动基态及 第一激发态的能量和波函数。 【答案】(1)体系的哈密顿量为

引入质心坐标

与相对坐标 x：

在坐标变换

，x 下,哈密顿量变为

相对运动哈密顿量为

相对运动能量与波函数为

为保证波函数

对交换 与

保持不变，n 只能取 0,2,4,…

(2)体系为自旋 s=1/2 的全同粒子，相对运动能量与波函数为

体系基态能量与波函数为

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考研专业课模拟试题 第一激发态能量与波函数为

2． 质量为 的粒子在势场 【答案】令

中运动，求

的定态能量和定态波函数。

的 s 态波函数掌б心博阅ヌ电子书

显然，在与 r＜a 与 r＞b 区，

，在 a＜r＜b 区，

满足方程

其中

，方程满足连续条件

的解为

由连续条件

,得

由上式及

得定态能量

将 k 值代入

中，并利用归一化条件

求得归一化系数

，定态波函数为

3． 一质量为 粒子在宽度为 a 的一维无限深方势阱(0＜x＜a)中运动，在 t=0 时粒子处于基态，此时突然 加上一个高为 宽为 中心在 a/2 的方势垒微扰， 时撤去微扰， 求体系处于前三个激发态的 概率。 【答案】无微扰时，波函数和能级分别为

由题意,t＞0 时，微扰哈密顿量为

在 时刻，撤去微扰时，由基态跃迁到激发态的概率为

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考研专业课模拟试题

其中

在

下，由积分中值定理可得

所以有

对于第一激发态和第三激发态，m=2 和 m=4,跃迁概率均为零。对于第二激发态，m=3,则有

4． 令 (1)计算 (2)已知 。证明

。 。证明 仍是 的本征态，并求出它的本征值。 同 与 有共同的本征函数完备系 。 试证明 仍是 与

(3) 对 于 自 由 粒 子 体 系 ， 已 知 其 哈 密 顿 算 符 ， 相应的本征值分别是 的共同本征函数，并求出相应的本征值。 【答案】(1)

利用式(1)，(2)与(3)可以计算下式：

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(B)对于

所以有：

(2)

由(2)式、(3)式和(4)式可得： 当 , 时，

当

，

时，

4． 一个量子点中的单电子能级有两个本征值 和 ，并且都是非简并的，其中 ，它们相应的单电 子空间波函数分别为 f(r)和 g(r)，试求该量子点中有两个电子时(电子的自旋为 1/2)，基态和第一激发态的 波函数和能级简并度(假定电子间无相互作用)。掌ㅓ心博✲阅电子书 【答案】不考虑电子间互作用，两电子系统总波函数应反对称，则 (1)空间部分 对称：

反对称：

(2)自旋部分 对称：

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零级近似能量与零级近似波函数为

微扰矩阵元

利用公式

算出

二级近似能量和一级近似波函数为掌р心博阅电子书

无电场时，离子在平衡位置附近作三维简谐振动。取平衡位置为坐标原点，显然坐标 x,y,z 的平均值 为零：

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