【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚 态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参 考答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答 案 试题题型： 计算题+简答题+证明题 参考书目： 《量子力学导论》 ，曾谨言著，北京大学出版社 适用院系： （909）北京应用物理与计算数学研究所 （900）研究生院北京本部 （901）流体物理研究所 （916）北京计算科学研究中心 （908）激光聚变研究中心 （911）上海激光等离子体研究所 （907）材料研究所 （915）北京高压科学研究中心

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） .........................................................................................................................................................................4 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（二） .......................................................................................................................................................................14 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（三） .......................................................................................................................................................................23 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（四） .......................................................................................................................................................................29 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） .......................................................................................................................................................................36

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（一） 一、计算题 1． 若 和 J 分别表示电子的总磁矩和总角动量(指轨道与自旋角动量之和)，试求 本征函数。掌ё心博阅电子书 【答案】因为 所以

的本征值和相应的

考虑到

因此

显然

的同本征函数

也是

的本征函数，

显然 2j+1 重简并。 2． 设算符

的本征值为与

无关，相应的本征函数为

，其中

取

共 2j+1 个值，即本征矢为

与 pauli 算符

对易掌д心博阅✎电子书

求证(1) (2)计算 【答案】(1)由 pauli 矩阵性质 及 将上两式联合写成

于是

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考研专业课模拟试题 用到矢量积的张量表达式

另证：左端 在 表象下

因此左边 右端

因此 (2)由(1) 对任意与 对易算符 又 所以 因此

3． 一个质量为 的粒子在一维势场中运动，其中 的定态能量。掌ㅛ心博阅电子书

与 a 是正的常数。求第一激发态能量,并讨论

时

【答案】 在求解含有 区的定态方程为

函数势的方程时， 要去掉势能发散点 x=a/2,在去掉 x=a/2 点后， 0<x<a

在 x<0，x>a 区 的连续条件

。上述方程同一维无限深方势阱中的定态方程是一样的，

在 x=0，a/2,a

也是一样的，不同的是，不含

势的

在 x=a/2 是连续的，而含

势的

在

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考研专业课模拟试题 x=a/2 是不连续的：

除非波函数在 x=a/2 的值

，假若一维无限深方势阱中的定态波函数

满足条件 否满足条件

，则式(3)成立， ，显然；n=2,4,…的

也是含有

势的解，我们来检验

是

满足这个条件，它们是本题的一部分解：

我们再求另一部分解，方程(1)满足条件(2)的一般解为

将式(5)代入式(3),得

4． 设粒子处于状态 【答案】利用公式

，求轨道角动量 x 分量及 y 分量平均值

与

，以及

与

。

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考研专业课模拟试题 及 皆对易，则算符 必与 (2)在 与 对易，于是问题得证。 下， 的平均值为

的共同本征态

由升降算符的性质可知

于是，有

同理可证，算符 在

在

下的平均值也为零。 的平均值为

态上，算符

同理可得

由不确定关系可知

或者写为

显然，当 M=J 时，上式取最小值，即

9． 由 Feymman—Hellmann 定理证明位力定理

并讨论 V(r)是 r 齐次函数情形 【答案】 取 为参数由 F—H 定理

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考研专业课模拟试题 2027 年中国工程物理研究院 070205 凝聚态物理《701 量子力学》考研冲刺模拟五套题及参考答案（五） 一、计算题 1． 一维谐振子受到微扰 的作用，其中 c 是常数，在粒子数表象中 ,a 与 分别

是湮没算符和产生算符，满足如下公式 ： 哈密顿量

，其中

是一维谐振子

的本征态,(1)用微扰论，准确到二级近似，求能量修正值;(2)求能量的准确值，

并与微扰论给出的结果比较。 【答案】

利用公式

算出微扰矩阵元

零级近似能量，一级与二级修正能量分别为

求精确能量，

的本征能量

由于λ是微小量，

其中

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