【冲刺】2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及 参考答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考 答案 试题题型： 计算题+证明题 参考书目： 华东师范大学《数学分析》 适用院系： （000）不区分院系所

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （一） ..............................................................................................................................................................4 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （二） ............................................................................................................................................................14 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （三） ............................................................................................................................................................27 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （四） ............................................................................................................................................................38 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （五） ............................................................................................................................................................50

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《602 数学分析》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （一） 一、计算题 1． 讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散) (1) (2) 【答案】(1) 单调减小，且 ，由Dirichlet判别法，反常积分 . . 有界，又 收敛. 在

由于

发散，

收敛，故

发散，从而

发散.

综上，积分

条件收敛.

(2)记

对 当 时，因 ，所以x=0是可去间断点，从而 是正常积分. ，所以x=0是可去间断点，从而 是正常积分. .由柯西判别法， ，当 时收敛，当 时发散. 在 时收敛，在

当p=l时，因 当p＞1时， 时发散.所以 对

当

时，

，且

收敛，所以当p＞l时积分

绝对收敛.

当

时，因为

有界，

在

单调减小且

，由

Dirichlet判别法，积分

收敛.但因为当

时积分

发散，所以当

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考研专业课模拟试题 吋积分 当 综上， 条件收敛.

时，由定义可知积分发散. 在 时发散， 时条件收敛， 时绝对收敛， 时发散.

2． 利用 Eu1er 积分计算： (1) 【答案】(1)令 (2) ，则

又

，

，所以

(2)令 t=1-cosx，则

，则

利用余元公式

可得

3． 已知

，求

青岛掌ㅏ心博阅く电子书

【答案】将上面的公式对 x 求偏导数有

解此方程组得

.

将上面的公式对 y 求偏导数有

解此方程组得

.

于是有

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考研专业课模拟试题

4． 求下列函数的高阶导数.青岛掌ㅜ心博阅电子书 (1)设 (2)设 ，求 ，求 . . 得

【答案】(1)利用恒等式

(2)利用恒等式

得

5 ． 设 V 是不含原点的有界区域，其体积为 ，边界为光滑的闭曲而 是 上连续可微函数，它满足微分方程

是

的外法线单位向量，

求 【答案】因为

. 的单位向量 ， 外法线的单位向量 ，则

所以

这里应用了 6． 讨论反常积分 【答案】(1)当

.

的敛散性青岛掌я心博阅®电子书 时，对任意的 ，有 但是 发散，

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考研专业课模拟试题

故得

，所以

13 ． 设

在 点 （ 0,0 ） 连 续 ， 证 明 函 数 ，其中 a，b 为常数 【答案】因为 在（0,0）连续，按偏导数定义

住 点 （ 0,0 ） 处 可 微 ， 且

考察极限 其中 由于

，

所以 因而函数 f（x，y）在原点（0,0）可微，且 14．证明或讨论下列函数的连续性.

. ，其中 a，b 为常数.

（1）设二元函数

讨论 f（x，y）的连续性

（2）设二元函数

讨论 f（x，y）在点（0，0）处的连续性.

（3）设

证明:f（x，y）在其定义域上是连续的.

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考研专业课模拟试题 由 公式可得

18 ． 设 （x,y,z）在

是以 上连续，证明：

为心， r 为半径的球，

是以 .

为心， r 为半径的球面 ,f

【答案】作变换

，则积分区域变成

则 ， 于是 . 化球面为参数形式：

于是

所以

19．证明 在整个 XY 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数。若有力场

求质点在此力场内沿椭圆 【答案】

从点

移动至点

时，场力所做的功。

可见在

上

，因此，在整个

平面上，

是某个函数的全微分. 设原函数中的一个为 u（x，y） ，由积分与路径无关可知

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考研专业课模拟试题 3． 设[a]表示 a 的最大整数部分，计算

【答案】

4． 设 L 为平面上的一条连续可微且没有重点的曲线，L 的起点为 A(1，0)，终点为 B(0，2)，L 全落在第 一象限，求 【答案】 ，其中 表示函数 lnr 沿曲线法线正向 n 的方向导数， ，则 。

因为

在 替 L，

时成立，所以曲线积分与路径无关.选取直线段 AB：y=2-2x，x 从 1 变到 0，以此代

5． 设 S 为 (1) (2)

在

的部分取外侧，求第二型曲面积分青岛掌и心博阅电子书 . . ，取下侧.记 为 围成的立体，其在 平面的

【答案】如下图所示，补面 投影区域记为 .由高斯公式得：

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