【冲刺】2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及 参考答案

考研专业课模拟试题 模拟试题简介 试题名称： 【冲刺】2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考 答案 试题题型： 选择题+计算题 参考书目： 北京大学《高等代数》 适用院系： （000）不区分院系所

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考研专业课模拟试题 目录 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （一） ..............................................................................................................................................................4 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （二） ..............................................................................................................................................................9 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （三） ............................................................................................................................................................16 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （四） ............................................................................................................................................................26 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （五） ............................................................................................................................................................32

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考研专业课模拟试题 2027 年考研专业课模拟试题-冲刺阶段使用 2027 年中国航空研究院(631 所)070102 计算数学《864 高等代数》考研冲刺模拟五套题及参考答案 （一） 一、选择题 1． 以下各向量组中线性无关的向量组为__. A.(2，-3，4，1)，(5，2，7，1)，(-1，-3，5，5)； B.(12，0，2)，(1，1，1)，(3，2，1)，(4，78，16)； C.(2，3，1，4)，(3，1，2，4)，(0，0，0，0)； D.(1，2，-3，1)，(3，6，-9，3)，(3，0，7，7). 【答案】A. 【解析】选项 C 中有零向量，显然排除；用观察法可知选项 D 中的第一个和第二个向量线性相关，排 除；而对于选项 B，四个三维空间的向量必然也线性相关，排除；于是只能选 A.

2． 设矩阵 A.2. B.3. C.4. D.5. 【答案】C

，已知矩阵 相似于 ，则秩

与秩

之和等于__

3． 设 为 阶实矩阵” 是 的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：• __ A.（Ⅱ）的解是（I）的解， （I）的解也是（Ⅱ）的解 B.（Ⅱ）的解是（I）的解，但（I）的解不是（Ⅱ）的解 C.（I）的解不是（Ⅱ）的解,（Ⅱ）的解也不是（I）的解 D.（I）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（I）的解 【答案】A 4． 设 是 阶矩阵， 是 维列向量.若秩 A. B. C. D. 【答案】D 二、计算题 必有无穷多解 必有惟一解 仅有零解 必有非零解

和（U）：

，:必有

，则线性方程组__

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考研专业课模拟试题 5． 设 ， ，…， 是 n 个实数,C 是如下的 n 阶方阵

,

（1）若 是 C 的特征值，试证:（1， ， ，•••， ）'是特征值 的特征向量； （2）若 ， ，…， 是矩阵 C 的两两互异的特征值,试求可逆矩阵 P，使得 为对角矩阵. 【答案】 （1）令 ，则

由 是 的特征值知（豆丁华研㈄电子书）

故有

V

即

是特征值 A 的特征向量.

（2）令

则

，知 P 是可逆矩阵，且

6 ． 设四阶矩阵

， 其中 ， ，

，

，

均为四维行向量 ， 且已知

，

. ，试计算行列式 【答案】已知矩阵 A,B 的值，则

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考研专业课模拟试题

7． 若方阵 A，C 可逆，证明： 【答案】 又因为

可逆，并求出

.

，这里 A,C 是 n 阶方阵，故 X 可逆.

， 所以 .

8． 证明:三维实空间 中向量

到平面

的距离为 的法向量为 ，向量 在法向量上投影的长度，所以

【答案】注意到过原点的平面 到平面 的距离实际上也就是点

注:本题要是求 9． 证明:线性方程组

到平面的投影

，通过

求这个距离就复杂多了.

只有零解,其中 【答案】令

为整数.

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考研专业课模拟试题 则 ， ， ，

(2)当

,

时，

，

，

，故方程组无解.

(3)当 a=1,b=-1 时，

则 特解为

，

分别为原方程组和导出组的一般解 ， ， 为自由未知量 . 求得 ， .故方程组的通解为

，导出组的冲刺解系为

其中 ， 为任意常数.（豆丁华研й电Т子书） 8． 分别在复数域、实数域和有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积. 【答案】 （1）在有理数域上 已经是不可约多项式，不能再分解. （2）在实数域上

因为判别式 （3）在复数域上,解方程 个根是 .所以

.所以

和 ，其两个根是

是实数域上的不可约多项式，已不可再分. ，解方程 ，其两

9． 有姓王、李和张的三个农民联合起来收割稻谷.王负责开收割机、李负责清理稻杆，张负责整理谷粒. 他们约定在 10 天内将三家的稻谷全部收完，并决定按照下面的表所示的工作方案进行，但都希望负担一 个合理的工资数,即使每个人的总收入和总支出相等.请帮助确定他们的工资,使每个人在这 10 天内能收支 平衡. 表：三个农民的合作系统

【答案】用 ， ， 分别表示王，李和张三个人的每日工资数,为了使三个人的总收入和总支出相 等，需要建立下面的线性方程组：

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考研专业课模拟试题 . 9． 设 , 为 阶矩阵,且 ,求证: (1) ； (2) (3) ； (4) , 的特征值向量是公共的； (5) 相似于对角矩阵,当且仅当 相似于对角矩阵. 【答案】(1)由 可得 故 可逆,且 (2)由(1)有 , 于是 即 从而由条件可知 (3)由 从而 (4)设 为 故 即 若 ,则由 ,可得 .矛盾,于是 ,从而 ,即 为 的特 . 可得 , , ,即 . 的特征向量,对应的特征值为 ,即 .则

征向量.又由|(3)有 ,同理可证 的特征向量也是 (5)必要性.由 相似于对角矩阵,故存在可逆矩阵 ,使得 即 将 按列分块为 量.由(4)知其也是 的特征向量,设 则 充分性,类似。 10．化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换： 【答案】法一用配方法，即 ,则 , ,

的特征向量,故结论成立.

.即

为

的特征向

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